Большая советская энциклопедия - метрическое пространство

Метрическое пространство, множество объектов (точек), на котором введена метрика. Всякое М. п. является топологическим пространством; за окрестности в нем принимаются всевозможные открытые шары при этом открытым шаром радиуса R с центром в точке x0 называется совокупность всех точек х, для которых расстояние r(х, x0) < R. Топология одного и того же множества может быть различной в зависимости от метрики, введенной на нем. Например, на множестве вещественных функций, определенных и непрерывных на отрезке a, b числовой оси, можно ввести две метрики: Соответствующие М. п. обладают разными топологическими свойствами. М. п. с метрикой (1) является полным для любой последовательности его точек {xn} такой, что r1(xn, xm) ® 0 При n, m ® ?, найдется элемент x0 М. п., являющийся пределом этой последовательности; М. п. с метрикой (2) этим свойством не обладает. В М. п. можно вводить фундаментальные понятия анализа: непрерывность отображения одного М. п. в другое, сходимость, компактность и т.д. Понятие «М. п.» было введено М. Фреше в 1906. Лит.: Александров П. С., Введение в общую теорию множеств и функций, М. — Л. 1948; Колмогоров А. Н., Фомин С. В., Элементы теории функций и функционального анализа, 3 изд., М., 1972; Люстерник Л. А., Соболев В. И., Элементы функционального анализа, 2 изд., М., 1965. В. И. Соболев.